로또는 과학이다

누구나 대박을 노리는 로또, 이미 다들 당첨 확률에 대해서는 알고 있을 것이다.

 

1등    6개 번호 일치    1 / 8,145,060    총 당첨금 중 4등, 5등 금액을 제외한 금액의 75%
2등    5개+보너스 번호 일치    1 / 1,357,510    총 당첨금 중 4등, 5등 금액을 제외한 금액의 12.5%   
3등    5개 번호 일치    1 / 35,724    총 당첨금 중 4등, 5등 금액을 제외한 금액의 12.5%
4등    4개 번호 일치    1 / 733    50,000원
5등    3개 번호 일치    1 / 45    5,000원

 

그치만 확실하게 적혀있는 4, 5등에 반해,
1,2,3등 당첨금에 대해서는 애매하게 엿가락 같은 제한을 두고 있다.
확률에 기반하여 정확한 당첨금 기대값을 구해본다.

일단 1000원어치 로또를 1장 사면 당첨금으로는 50%, 500원이 돌아간다.
나머지 42%는 복권기금으로 좋은곳에 쓰이고 8%는 아마 로또 사업 운영에 들어가지 않나 싶음.

아무튼 500원을 어떻게 분배하는지 알아보자.
일단 4,5등은 계산하기 쉬움.
5등 5000원 / 44.56 = 112.2 원
4등 50000원 / 732.8 = 68.2 원
그니까 로또 한장을 샀을때 위 금액이 4등, 5등의 당첨금으로 돌아감.
그러면 평균적으로 남은 당첨금은 319.6 원이 됨.

자 여기서 1/8 이 각각 2, 3등에게 돌아감.
즉 39.95원이 2등, 3등의 당첨금임.

그리고 남은 금액, 239.7원이 1등에게 돌아감.
즉 로또 1장 판매금액에 대한 1~5등 당첨금은 이렇게 됨.
[239.67  39.95  39.95  68.23 112.2 ]

이걸로 1,2,3등 당첨금의 평균 금액을 구할수 있음.
1등은 평균적으로 로또 8145060장당 한장씩 나오기 때문에, 8145060명이 239.67원씩 몰아서 1명한테 주는 구조가 됨.

그러면 239.67 * 8145060 = 19.52 억

같은 방식으로 2등은 5423 만원
3등은 143 만원이 평균 당첨금이 됨.

동행복권이 밝히고 있는 현재까지의 1등 평균 당첨금액은 20.4 억원으로 확률적 계산과 거의 일치함을 알 수 있음.
2등은 따로 계산해서 밝히고있지 않는데, 최근 10회(1083~1092) 평균 5516 만원으로 이것도 거의 일치함.

그리고 추가로 이월 확률 및 1등 당첨자 수에 대해 계산해보자.

1091회 로또 판매량은 109,335,581 장
로또는 실행 횟수가 굉장히 많고 발생 확률이 굉장히 적은 이항분포의 한 예라고 볼수 있음.
그러면 이것은 푸아송 분포의 정의와 일치하므로 푸아송 분포로 쉽게 값을 도출가능.

정해진 시간 안에 어떤 사건이 일어날 횟수에 대한 기댓값을 λ  라고 했을 때, 그 사건이 k회 일어날 확률은 다음과 같다.
    f ( k ; λ ) = λ^k * exp(-k) / k!
이에 따라 계산해보면 당첨자 수의 분포를 쉽게 구할 수 있음.
λ = 13.4, k=0~30 넣어보며 계산해보면, 13명이 1등 당첨될 확률이 제일 높고, 3인 이하 혹은 25인 이상이 나올 경우는 거의 없음을 알 수 있음.
넘나 당연한게 판매량 * 1등확률 해서 평균값 λ 구하면 13.4 임.
이월될 확률(k=0)만 정확히 보면 0.000148 % 임.

근데 옛날 로또가 이월 잘 됐던 이유는 뭘까?
답은 판매량에 있음.

4천9백만개쯤 팔렸을때가 마지막 이월이었고, 1억개가 넘게 팔리는 지금은 이월이 너무 어려워짐.
근데 초기에는 1등 없을 확률이 1% 미만으로 낮음에도 불구하고 의외로 이월이 잘 됨.
그 이유는 자동선택 비율에 있을 것으로 추측됨.

초기 자동선택 비율이 20%미만이다가 현재는 70% 이상으로 올랐다고 하는데,
수동선택을 하면 사람들이 의식적으로 원하거나 피하는 조합들이 생겨서 균일하게 선택을 못하므로 빈 번호들이 많았을 것임.
그래서 초기에는 판매량 적음 + 수동선택 비율 높음 으로 많이 이월되었고 19회 407억같은 전설이 탄생할 수 있었으나 현재는 불가능함. 많이 팔릴수록 큰수의 법칙 따라서 20억 언저리로 수렴하게 됨.

좀더 이월 많이 되고 잭팟 잘 터지게 하려면, 6/45가 아니라 7/45로 바꾸든지 게임당 3천원으로 올리면 됨.